Показательные уравнения — подарок школьникам! Профильный ЕГЭ по математике.

Среди всех заданий №13 встречаются совсем уж «лакомые кусочки». Давайте сразу с места — в карьер. Вот один из примеров 13-го задания:

Начнем с того, что в случае показательных уравнений нам не нужно переживать по поводу ОДЗ — области допустимых значений аргумента. Никаких ограничений для «икса»! И, все же, далеко не всем бывает ясно, как же это все теперь решать.

Как мы действуем в таких случаях? С чего начинаем?

Правильно: просто вводим замену переменной.

Но сначала немного «причешем» первое уравнение, чтобы все стало совсем очевидно и прозрачно. Вот так:

Да, здесь важно оговориться, что в таком случае наша переменная t всегда положительная. Обязательно вспомним об этом, когда найдем корни. Корни можно искать через дискриминант, либо по теореме Виета — уравнение ведь получилось приведенным (коэффициент при «тэ-квадрат» равен единице).

Очевидно, что сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Под эти критерии подходит только пара корней:

Оба корня положительны, так что нам не о чем беспокоиться в плане «подходят или не подходят». Все подходит.

Для дальнейших рассуждений нам нужно вспомнить о том, что логарифмы по основаниям, большим единицы, являются монотонно возрастающими функциями на всей области определения. Наши логарифмы по основанию 2 именно такие. А, значит, если х1>х2, то и f(x1) >f(x2).

Возвращаем изначальную переменную «икс» и получаем вот что:

Итак, найдены оба корня. Правда, они выражены через логарифмы, но такое здесь (в ЕГЭ) в порядке вещей. Остается ответить на вопрос пункта «б», а именно: «Какие из этих корней принадлежат отрезку от 2 до корня из 10?»

Если представлять двойку в виде логарифма по основанию 2, то это будет

Таким образом ясно, что корень «логарифм 3 по основанию 2» не принадлежит данному промежутку, находится левее «двойки».

Теперь давайте подумаем, как быть с корнем из 10. Тут все просто. Корень из 10 больше, чем три. Поэтому:

Итак, ясно, что второй корень принадлежит указанному промежутку.

Возможно, что уравнение кому-то на первый взгляд показалось коварным… Но в реальности оказалось вполне белым и пушистым, верно?

Путь решения, надеюсь, понятен. Если что, пишите ваши вопросы в комментариях, с удовольствием отвечу. А в задании наш окончательный ответ будет вот таким:

Вот и всё. Показательные уравнения методом замены переменной решаются довольно просто. 🙂

Успехов вам в вашей учебе и экзаменах!